Возьмем значение \(\beta\) равное \(0.9\) и поглядим внимательно на формулу для \(V_{100}\), \(V_{99}\) и \(V_{98}\):
\[ \begin{aligned} V_{100} &= 0.9V_{99} + 0.1\Theta_{100}\\ V_{99} &= 0.9V_{98} + 0.1\Theta_{99} \\ V_{98} &= 0.9V_{97} + 0.1\Theta_{98} \end{aligned} \]Для удобства, поменяем слагаемые местами, и вместо \(V_{99}\) подставим формулу:
\[V_{100} = 0.1\Theta_{100} + 0.9\cdot(0.1\Theta_{99} + 0.9V_{98})\]Теперь сделаем то же самое для \(V_{98}\):
\[V_{100} = 0.1\Theta_{100} + 0.9\cdot\big(0.1\Theta_{99} + 0.9\cdot(0.1\Theta_{98} + 0.9V_{97})\big)\]Теперь для \(V_{97}\):
\[V_{100} = 0.1\Theta_{100} + 0.1\cdot 0.9\Theta_{99} + 0.1\cdot 0.9^2\Theta_{98} + 0.1\cdot 0.9^3\Theta_{97} + \ldots\]Это можно изобразить следующим образом. Например, у нас есть график с температурой за 100 дней:
И у нас есть экспоненциально затухающая функция, которая в своем максимуме при \(t = 100\) имеет значение \(0.1\), при \(t = 99: 0.1 · 0.9\), при \(t = 98: 0.1 · 0.92\) и так далее:
И для того, чтобы вычислить значение \(V_{100}\) нужно взять поэлементное произведение значений этих двух функций для каждого \(t\) и суммировать их.
Теперь разберемся с тем, а сколько же дней усредняет коэффициент.
\[0.9^{10}\approx 0.35\approx \frac{1}{e}\]В более общем варианте, формула будет такова:
\[(1-\varepsilon)^{1/\varepsilon}=\frac{1}{e}\]Другими словами, для этого значения коэффициента требуется около 10 дней на то, чтобы высота затухающей функции изменилась примерно на треть.
Если \(\beta = 0.98\), то в какую степень следует возвести это значение, чтобы было соблюдено это условие?
\[0.98^{50}\approx\frac{1}{e}\]или, если пользоваться формулой с \(\varepsilon\):
\[(1-0.02)^{1/0.02}\]В общем смысле параметр \(\varepsilon\) заменяет собой параметр \((1﹣\beta)\).