Задача формулируется следующим образом. Пусть \(\xi\) — равномерное распределение на множестве \(\{1,2,3,4,5,6\}\). Найдите сумму всех факториальных моментов \(\xi\).
На всякий случай напомню, что факториальный момент — это такая мера распределения, которая показывает ожидание в убывающем факториале о наличии случайной величины.
В общем случае \(k\)-й факториальный момент можно найти по формуле:
\[\mu_k = \mathbb{E}\big[\xi(\xi-1)\ldots(\xi - k + 1)\big]\]Так как у нас распределение равномерное и дискретное, то, согласно указанной выше формуле, первый факториальный момент вычисляется просто как среднее арифметическое:
\[\mathbb{E}[\xi]=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6 i = \frac{7}{2}\]Второй, как среднее арифметическое произведения \(\xi\) и \((\xi - 1)\):
\[\mathbb{E}[\xi]=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6 i(i-1) = \frac{35}{3}\]Третий, как среднее арифметическое произведения \(\xi\), \((\xi - 1)\) и \((\xi - 2)\):
\[\mathbb{E}[\xi]=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6 i(i-1)(i-2) = 35\]Вычисляя точно так же последовательно четвертый, пятый и шестой моменты, просто добавляя к произведению под знаком суммы \((i - 3)\), \((i - 4)\) и \((i - 5)\), получаем значения 84, 140 и 120.
Начиная с седьмого, факториальные моменты дискретного равномерного распределения, состоящего из шести элементов, оказываются равны нулю.
Остается только сложить полученные значения и задача решена:
\[\frac{7}{2}+\frac{35}{2}+35 + 84 + 140 + 120 = \frac{2365}{6}\]