определение
Определение алгебры множеств является одним из фундаментальных понятий теории вероятностей. В книге «Вероятность-1» А. Н. Ширяева оно дается следующим образом:
Если рассматривается некоторая система \(\mathcal{A}_0\) множеств \(\mathcal{A} \subseteq \Omega\), то с помощью теоретико-множественных операций \(\cup\), \(\cap\), \(\backslash\) можно из элементов \(\mathcal{A}_0\) построить новую систему множеств, которые также являются событиями. Присоединяя к этим событиям достоверное и невозможное события \(\Omega\) и \(\varnothing\), получаем систему множеств \(\mathcal{A}\) , которая называется алгеброй, то есть такой системой подмножества \(\Omega\), что:
- \(\Omega \in \mathcal{A}\)
- если \(A \in \mathcal{A}, B \in \mathcal{A}\), то множества \(A \cup B, A \cap B, A \backslash B\) также принадлежат \(\mathcal{A}\) [1]
Алгебра, построенная из заданной системы \(\mathcal{A}_0\) является наименьшей по включению системой множеств, удовлетворяющей этим условиям.
пример построения алгебры
Давайте разберем на конкретном примере, что представляет собой алгебра множеств.
Допустим, у нас есть пространство элементарных событий, состоящее из пяти элементов:
\[\Omega = \{1,2,3,4,5\}\]Построим алгебру \(\mathcal{A}\) на основе этого множества.
Возьмем в качестве начальной системы \(\mathcal{A}_0\) два подмножества \(\Omega: \{1, 2\}, \{3, 4\}\). Такой выбор сделан для иллюстрации, на практике начальная система может быть любой:
\[\mathcal{A}_0 = \big\{\{1,2\},\{3,4\}\big\}\]Теперь последовательно применим операции \(\cup, \cap, \backslash\) к множеству \(\mathcal{A}_0\) для построения новых множеств, а также включим в получившееся множество \(\varnothing\) и \(\Omega\), как того требует определение.
Объединение \(\cup\):
\[\{1, 2\} \cup \{3, 4\} = \{1,2,3,4\}\]Пересечение \(\cap\):
\[\{1, 2\} \cup \{3, 4\} = \varnothing\]Разность \(\backslash\):
\[ \begin{aligned} \{1, 2\} \backslash \{3, 4\} &= \{1, 2\}\\ \{3, 4\} \backslash \{1, 2\} &= \{3, 4\} \end{aligned} \]Для полноты построения следует также учесть разности с полным множеством \(\Omega\):
\[ \begin{aligned} \Omega \backslash \{1, 2\} &= \{3, 4, 5\}\\ \Omega \backslash \{3, 4\} &= \{1, 2, 5\}\\ \Omega \backslash \{1, 2, 3, 4\} &= \{5\} \end{aligned} \]Итак, мы получили следующую алгебру:
\[\mathcal{A} = \big\{\varnothing, \{1, 2\}, \{3, 4\}, \{1, 2, 3, 4\}, \{3, 4, 5\}, \{1, 2, 5\}, \{5\}, \Omega\big\}\]проверка замкнутости
Замкнутость означает возможность проведения операций без выхода за пределы системы.
Проверим, что получившееся множество замкнуто относительно операций объединения, пересечения и разности. Для простоты восприятия будет показана проверка только для одного нового элемента \(\{1, 2, 3, 4\}\), остальные элементы можно проверить аналогично и убедиться, что множество действительно замкнуто.
Объединение \(\cup\):
\[ \begin{aligned} \{1, 2, 3, 4\} \cup \{1, 2\} &= \{1, 2, 3, 4\} \\ \{1, 2, 3, 4\} \cup \{3, 4\} &= \{1, 2, 3, 4\} \\ \{1, 2, 3, 4\} \cup \{3, 4, 5\} &= \{1, 2, 3, 4, 5\} \\ \{1, 2, 3, 4\} \cup \{1, 2, 5\} &= \{1, 2, 3, 4, 5\} \\ \{1, 2, 3, 4\} \cup \{5\} &= \{1, 2, 3, 4, 5\} \\ \{1, 2, 3, 4\} \cup \Omega &= \{1, 2, 3, 4, 5\} \\ \end{aligned} \]Пересечение \(\cap\):
\[ \begin{aligned} \{1, 2, 3, 4\} \cap \{1, 2\} &= \{1, 2\} \\ \{1, 2, 3, 4\} \cap \{3, 4\} &= \{3, 4\} \\ \{1, 2, 3, 4\} \cap \{3, 4, 5\} &= \{2, 3\} \\ \{1, 2, 3, 4\} \cap \{1, 2, 5\} &= \{1, 2\} \\ \{1, 2, 3, 4\} \cap \{5\} &= \varnothing \\ \{1, 2, 3, 4\} \cap \Omega &= \{1, 2, 3, 4\} \\ \end{aligned} \]Разность \(\backslash\):
\[ \begin{aligned} \{1, 2, 3, 4\} \backslash \{1, 2\} &= \{3, 4\} \\ \{1, 2, 3, 4\} \backslash \{3, 4\} &= \{1, 2\} \\ \{1, 2, 3, 4\} \backslash \{3, 4, 5\} &= \{1, 2\} \\ \{1, 2, 3, 4\} \backslash \{1, 2, 5\} &= \{3, 4\} \\ \{1, 2, 3, 4\} \backslash \{5\} &= \{1, 2, 3, 4\ \\ \{1, 2, 3, 4\} \backslash \Omega &= \varnothing \\ \end{aligned} \]Как и следует из определения, полученное множество \(\mathcal{A}\) содержит пустое множество \(\varnothing\) и достоверное событие \(\Omega\), а также замкнуто относительно операций \(\cup\), \(\cap\) и \(\backslash\).
резюме
Таким образом, исходя из набора начальных множеств \(\Omega\) и \(\mathcal{A}_0\) и используя определения алгебры, мы получили полную систему подмножеств \(\mathcal{A}\), замкнутую относительно объединения, пересечения и разности, а также содержащую \(\varnothing\) и \(\Omega\). Именно такая система и называется алгеброй.
- Ширяев А. Н. Вероятность: В 2-х кн. — 6-е изд., испр. — М.Ж МЦНМО, 2017