Для любого события \(A\) из множества событий алгебры \(\mathcal{A}\), вероятность определяется как сумма вероятностей элементарных исходов из \(A\):
\[P(A)= \sum_{\{\omega_i \in A\}}p(\omega_i)\]Событие \(A \cup B\) состоит из всех элементарных событий, которые принадлежат либо множеству \(A\), либо множеству \(B\), либо одновременно их пересечению \(A \cap B\). Вероятность объединения по определению вычисляется как:
\[P(A\cup B)= \sum_{\{\omega_i \in A \cup B\}}p(\omega_i)\]Эта формула представляет собой длинное с суммирование по всем элементарным исходам и может быть неудобна на практике, поэтому давайте разберемся, как от этой формулы перейти к более удобному выражению.
разделение на части
Множество \(A \cup B\) можно представить как объединение трех не пересекающихся частей:
- все исходы, которые принадлежат \(A\), но не принадлежат \(B\) (обозначается как \(A \backslash B\)),
- все исходы, которые принадлежат \(B\), но не принадлежат \(A\) (обозначается как \(B \backslash A\)),
- все исходы, которые принадлежат одновременно \(A\) и \(B\) (обозначается как \(A \cap B\)).
Кратко это можно записать как:
\[P(A\cup B) = P(A\backslash B)+P(B\backslash A) + P(A\cap B)\]Следовательно вероятность объединения можно расписать как сумму сумм вероятностей каждого из этих множеств:
\[P(A\cup B) = \sum_{\{\omega_i \in A\backslash B\}}p(\omega_i) + \sum_{\{\omega_i \in B\backslash A\}}p(\omega_i) + \sum_{\{\omega_i \in A\cap B\}}p(\omega_i) \]связь с вероятностями P(A) и P(B)
Вероятность события \(A\) можно представить как сумму вероятностей всех исходов, которые принадлежат \(A\), но не принадлежат \(B\) , сложенную с суммой вероятностей пересечения этих множеств:
\[P(A) = \sum_{\{\omega_i \in A\backslash B\}}p(\omega_i) + \sum_{\{\omega_i \in A\cap B\}}p(\omega_i)\]Аналогично рассуждая можно представить вероятность события \(B\):
\[P(B) = \sum_{\{\omega_i \in B\backslash A\}}p(\omega_i) + \sum_{\{\omega_i \in A\cap B\}}p(\omega_i)\]Теперь сложим вероятности \(P(A)\) и \(P(B)\):
\[P(A) + P(B) = P(A\cup B) + \sum_{\{\omega_i \in A\cap B\}}p(\omega_i)\]последний знак суммы, как мы обозначили выше, это вероятность пересечения:
\[P(A) + P(B) = P(A\cup B) + P(A\cap B)\]Теперь поменяем местами части выражения и получим искомую вероятность объединения:
\[P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\]Из этого также следует, что, если множества \(A\) и \(B\) независимы, то их пересечение — это пустое множество \(A \cup B = \varnothing\), соответственно, вероятность их объединения представляет собой просто сумму вероятностей:
\[P(A\cup B) = P(A) + P(B) \]резюме
Таким образом, мы перешли от громоздкого определения вероятности объединения через суммы вероятностей отдельных элементарных исходов, принадлежащих соответствующим множествам \(A\) и \(B\), к более практичному, компактному и универсальному выражению.