Пусть есть независимые одинаково распределенные случайные величины \(X_1, \ldots, X_n\) c математическим ожиданием \(\mu = \mathbb{E}X_1\) и дисперсией \(\sigma^2=\mathbb{D}X_1\). Необходимо проверить, является ли оценка \(\overline{X}^2\) для \(\mu^2\) несмещённой.
Для того, чтобы проверить, является ли оценка несмещённой, нужно найти её математическое ожидание, и проверить, равно ли оно \(\mu^2\).
Для начала запишем выражение для \(\overline{X}^2\):
\[\overline{X}^2 = \bigg(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\bigg)^2=\frac{1}{n^2}\bigg(\sum_{i=1}^n X_i\bigg)^2\]Для поиска математического ожидания нужно раскрыть скобки:
\[\frac{1}{n^2}\bigg(\sum_{i=1}^n X_i\bigg)^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2 + \sum_{i=1}^n\sum_{\substack{j=1\\i\ne j}}^n X_iX_j \]Таким образом \(\overline{X}^2\) будет равно:
\[\overline{X}^2 = \frac{1}{n^2}\bigg(\sum_{i=1}^n X_i^2 + \sum_{i=1}^n\sum_{\substack{j=1\\i\ne j}}^n X_iX_j\bigg)\]Теперь найдем математическое ожидание:
\[\mathbb{E}[\overline{X}^2] = \mathbb{E}\bigg[\frac{1}{n^2}\bigg(\sum_{i=1}^n X_i^2 + \sum_{i=1}^n\sum_{\substack{j=1\\i\ne j}}^n X_iX_j\bigg)\bigg]=\]скаляр можно вынести за знак матожидания и по линейности матожидания переписываем:
\[=\frac{1}{n^2}\bigg(\mathbb{E}\bigg[\sum_{i=1}^n X_i^2\bigg] + \mathbb{E}\bigg[\sum_{i=1}^n\sum_{\substack{j=1\\i\ne j}}^n X_iX_j\bigg]\bigg)\]По определению дисперсия для каждого \(i\) равна разности матожидания квадрата и квадрата матожидания:
\[\sigma^2 = \mathbb[\overline{X}^2_i]-\mu^2\]Тогда матожидание квадрата, для каждого \(i\):
\[\mathbb{E}[\overline{X}^2_i] = \mu^2 + \sigma^2\]По линейности математического ожидания можем записать:
\[\mathbb{E}\bigg[\sum_{i=1}^n X_i^2\bigg] = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i^2]\]Теперь можем подставить найденое ранее матожидание квадрата:
\[\sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i^2] = \sum_{i=1}^n(\mu^2+\sigma^2) = n(\mu^2+\sigma^2)\]Теперь перейдем ко второму слагаемому с \(i \ne j\). Так как по условию \(X_i\) и \(X_j\) независимы и одинаково распределены, то матожидание произведения равно произведению матожиданий:
\[\mathbb{E}[X_iX_j] = \mathbb{E}[X_i]\mathbb{E}[X_j] = \mu \cdot \mu = \mu^2\]Количество таких пар при \(i \ne j\) равно \(n(n-1)\), значит:
\[\sum_{i=1}^n\sum_{\substack{j=1\\i\ne j}}^n \mathbb{E}[X_iX_j] = n(n-1)\mu^2\]Теперь подставляем полученные результаты в формулу:
\[\mathbb{E}[\overline{X}^2] = \frac{1}{n^2}\big(n(\mu^2+\sigma^2)+n(n-1)\mu^2\big) =\]раскроем скобки:
\[=\frac{n\mu^2+n\sigma^2 +n^2\mu^2-n\mu^2}{n^2}=\]сокращаем и получаем итоговое значение матожидания:
\[=\frac{\mu^2+\sigma^2 +n\mu^2-\mu^2}{n} = \frac{\sigma^2+n\mu^2}{n} =\mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}\]Отсюда получаем, что математическое ожидание \(\overline{X}^2\) больше, чем \(\mu^2\), следовательно, эта оценка смещённая.