Представим, что есть вот такая матрица \(\textbf{A}\), которую нужно привести к треугольной:
\[\textbf{A}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 4 & 8 & 9 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \]На первом шаге нужно из второй строки матрицы вычесть первую, умноженную на 4. Для чего нужно взять elimination матрицу \(\textbf{E}\) и умножить её на матрицу \(\textbf{A}\):
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 4 & 8 & 9 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \]В получившейся матрице во второй строке на позиции pivot стоит 0, что мешает дальнейшему преобразованию. Для того, чтобы устранить проблему, можно взять permutation матрицу \(\textbf{P}\), и при её помощи поменять строки 2 и 3 местами:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \]Путём этих несложных манипуляций, исходная матрица приведена к треугольной.