Математическое ожидание (по-английски expected value) — это среднее значение случайной величины при стремлении количества выборок или количества измерений к бесконечности. В русскоязычной литературе обозначается как \(M[X]\), а в англоязычной — \(\mathbb{E}[X]\).
Для дискретной случайной величины математическим ожиданием будет число:
\[M[X]=\sum_{i=1}^\infty x_ip_i\]Например, если случайная величина имеет дискретное распределение, то есть:
\[P(X=x_i)=\frac{1}{n}, \ i=1,\ldots,n\]тогда ее математическое ожидание будет равно среднему арифметическому всех значений:
\[M[X]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\]Для абсолютно непрерывной случайной величины, у которой есть плотность, математическое ожидание вычисляется как:
\[M[X]=\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx\]Так, например, для экспоненциального распределения математическим ожиданием будет:
\[ \begin{aligned} M[X] &= \int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}dx= \\ \\ &= \frac{1}{\lambda}\int_0^\infty ye^{-y}dy = \\ \\ &= \frac{1}{\lambda}\bigg[0+\int_0^\infty e^{-y}dy\bigg]=\frac{1}{\lambda} \end{aligned} \]