Представим, что у нас есть пространство элементарных событий, которое задано как \(\Omega = \{1,2,3,4,5\}\). Сколько всего σ-алгебр можно на таком пространстве задать?
Для тех, кто не знал или забыл, что такое σ-алгебра, напомню в двух словах, что σ-алгебра — это такая коллекция подмножеств множества, которая удовлетворяет следующим требованиям:
- она содержит пустое множество;
- если событие A живет в σ-алгебре, то и его дополнение тоже живет в ней;
- объединение или пересечение всех подмножеств этого подмножества также живет в σ-алгебре.
Для решения такой задачи нам потребуется воспользоваться двумя понятиями: числами Стирлинга второго рода и числом Белла.
Числа Стирлинга второго рода — это не что иное, как количество неупорядоченных разбиений \(n\)-элементного множества на \(k\) непустых подмножеств. Вычисляются эти числа по формуле:
\[S(n,k) = \frac{1}{k!}\sum_{j=0}^k(-1)^{k+j}\binom{k}{j}j^n\]А число Белла — это просто сумма всех получившихся чисел Стирлинга:
\[B_n = \sum_{m=0}^nS(n,m)\]Для облегчения восприятия, давайте рассмотрим простой пример. Пусть наше пространство состоит не из пяти, а всего из трех элементов \(\Omega = \{1,2,3\}\).
Из нуля элементов можно составить ноль подмножеств, поэтому этот шаг опустим.
Посчитаем, сколько можно составить подмножеств, состоящих из одного элемента:
\[S(3,1)=\frac{1}{1!}\sum_{j=0}^1(-1)^{1+j}\binom{1}{j}j^3=1\]Это так, потому что у нас есть только один вариант составить одноэлементное множество: \(\{123\}\) (помните, что порядок нас не интересует).
Из двух элементов:
\[S(3,2)=\frac{1}{2!}\sum_{j=0}^2(-1)^{2+j}\binom{2}{j}j^3=3\]Для двух элементов у нас может быть всего три варианта: \(\{1, 23\}, \{12, 3\}, \{13, 2\}\).
Из трех элементов:
\[S(3,3)=\frac{1}{3!}\sum_{j=0}^3(-1)^{3+j}\binom{3}{j}j^3=1\]Для трех элементов существует всего один вариант: \(\{1, 2, 3\}\).
Теперь посчитаем число Белла, сложив все полученные величины: \(1 + 3 + 1 = 5\). Получается, что на нашем пространстве \(\Omega = \{1,2,3\}\) можно задать пять σ-алгебр.
Таким образом, применив тот же самый подход к пространству из пяти элементов \(\Omega = \{1,2,3,4,5\}\), можно найти искомое количество σ-алгебр:
- числа Стирлинга равны 1, 15, 25, 10 и 1
- число Белла, то есть их общая сумма, — равно 52
ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра