Заряд — это функция:
\[\mu : \mathcal{A}\to \overline{\mathbb{R}}, \ \overline{\mathbb{R}}:= \mathbb{R}\cup \{-\infty,+\infty\}\]определенная на алгебре \(\mathcal{A}\) (или \(\sigma\)-алгебре) обобщающая понятие меры и допускающая отрицательные и бесконечные значения.
Основные требования:
- Значения: \(\mu\) принимает значения в расширенной вещественной прямой \(\overline{\mathbb{R}}\).
- Согласованность бесконечностей: если существует \(A\in \mathcal{A}\) с зарядом \(\mu(A)=+\infty\), то не существует множества \(B\in \mathcal{A}\), такого что \(\mu(B)=-\infty\), и наоборот.
- Заряд пустого множества: \[\mu(\varnothing)=0\]
- Счётная аддитивность: если множества \(A_n \in \mathcal{A}\) — попарно непересекающиеся, и \(\bigcup^\infty_{n=1}A_n\in\mathcal{A}\), то: \[\mu\bigg(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\bigg)=\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)\]
Примеры зарядов
Пример 1: Лебеговый заряд
Рассмотрим измеримые множества \(A\subseteq[0,1]\) с мерой Лебега \(\lambda(A)\).
Определим заряд как разность меры множества слева и справа от точки 0.5:
\[\mu(A)=\lambda(A\cap[0,0.5])-\lambda(A\cap(0.5, 1])\]
примеры вычислений
- \(A=[0,0.3]\). Этот отрезок полностью лежит в \([0,0.5]\), значит: \[\mu(A)=\lambda([0,0.3])-0 = 0.3\]
- \(A=(0.6, 0.8]\). Этот отрезок полностью лежит в \((0.5, 1]\), значит: \[\mu(A)=0-\lambda((0.6,0.8])=0 -0.2=-0.2\]
- \(A=[0.4,0.6]\). Этот отрезок лежит по обе стороны от 0.5: \[\mu(A)=\lambda([0.4,0.5])-\lambda((0.5,0.6])=0.1-0.1=0\]
проверка свойств заряда
Теперь проверим свойства и убедимся, что \(\mu\) действительно заряд:
- \(\mu(\varnothing)=0\), потому что длина пустого множества равна нулю
- счётная аддитивность выполняется, так как заряд объединения равен сумме зарядов отдельных множеств.
интерпретация
Заряд \(\mu\) измеряет, насколько больше множество покрывает левую половину отрезка \([0,1]\), чем правую.
Пример 2: Заряд через сумму квадратов
Для подмножеств \(A\subseteq \mathbb{R}\) определим заряд:
\[\mu (A)=\sum_{x\in A\cap\mathbb{N}}x^2\]
примеры вычислений
- \(\mu(\{1,2,3\}) = 1^2+2^2+3^2=14\)
- \(\mu(\{1,100\})=1^2+100^2=10001\)
- \(\mu(\mathbb{N})=\sum_{n=1}^\infty n^2=+\infty\)
проверка свойств заряда
- \(\mu(\varnothing)=0\)
- значения — вещественные числа, либо \(+\infty\)
- счётная аддитивность для попарно непересекающихся множеств \(A_n\) выполняется
интерпретация
Заряд \(\mu\) здесь представляет собой измерение «массы» множества, где масса точки растёт квадратично с номером.
Пример 3: Некорректный пример
Рассмотрим подмножества \(A\subseteq \mathbb{R}\).
Определим функцию заряда как квадрат мощности множества:
\[\mu(A)=|A|^2\]где \(|A|\) — число элементов множества (если оно конечно), или \(+\infty\).
примеры вычислений
- \(\mu(\{1,2,3,...\})=+\infty\)
- \(\mu(\{1,2\})= 4\)
- \(\mu(\{100\})= 1\)
проверка свойств заряда
- \(\mu(\varnothing)=0\)
- счётная (и даже конечная) аддитивность нарушается, например:
- \(\mu(\{1\}) = 1\)
- \(\mu(\{2\})=1\)
- но \(\mu(\{1,2\})=4 \ne \mu(\{1\}) + \mu(\{2\})\)
Такая функция не является зарядом, так как нарушает счётную (и даже конечную) аддитивность. Причина в нелинейности заряда.
Конечный заряд
Заряд \(\mu\) называется конечным, если для любого множества \(A\in \mathcal{A}\) модуль заряда этого множества \(A\) конечен:
\[|\mu(A)| < \infty\]
Пример
Рассмотрим алгебру подмножеств \(A\subseteq \mathbb{Z}\) и определим заряд \(\mu\) по правилу:
\[\mu(A)=\sum_{x\in A}\frac{1}{1+x^2}\]Этот ряд абсолютно сходится для любого \(A\subseteq\mathbb{Z}\), поскольку члены \(\frac{1}{1+x^2}\) положительны, убывают и ограничены. Таким образом, сумма всегда конечна.
Проверим свойства:
- \(\mu(\varnothing)=0\)
- значения всегда конечны
- аддитивность выполняется, потому что сумма по непересекающимся подмножествам — просто сумма по объединению
Таким образом это конечный заряд.
Счётно конечный заряд
Заряд \(\mu\) называется счётно конечным, если существует последовательность множеств \(A_n \in \mathcal{A}, n\in \mathbb{N}\), таких что объединение этих множеств покрывает всё пространство \(\Omega\), а модуль заряда каждого множества \(A_n\) конечен:
\[\Omega=\bigcup_{n=1}^\infty A_n, \ |\mu(A)|<\infty, \forall \ n\in\mathbb{N}\]
Пример
Рассмотрим борелевскую \(\sigma\)-алгебру \(\mathcal{A}\) на \(\mathbb{R}\), и определим заряд \(\mu\) по правилу:
\[\mu(A)=\sum_{\substack{x\in A\cap \mathbb{Z}\\ x\ne 0}}\frac{1}{x}\]Тогда:
- \(\mu(\{1\})=1\), \(\mu(\{-1\})=-1\)
- \(\mu(\mathbb{Z}\backslash\{0\})\) не определена, так как ряд \(\sum_{x\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}}\frac{1}{x}\) не абсолютно сходится и зависит от порядка суммирования. Однако можно разложить: \[\mathbb{Z}\backslash\{0\}=\bigcup_{i=1}^\infty\{n,-n\}\] где все множества \(\{n, -n\}\) попарно не пересекаются и: \[|\mu(\{n,-n\})| = \left|\frac{1}{n} - \frac{1}{n}\right| = 0 < \infty\]
Такое разложение корректно, поскольку:
- каждая точка \(\mathbb{Z}\backslash\{0\}\) входит в некоторое множество \(\{n,-n\}\)
- заряд каждого из этих множеств конечен и равен нулю.
Таким образом, заряд \(\mu\) счётно конечный, но не конечный, поскольку не существует множества \(A\in \mathcal{A}\), такого, что \(A \supseteq \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) и \(|\mu(A)|<\infty\).
Мера
Заряд \(\mu\) называется мерой, если он принимает неотрицательные значения на всех множествах \(A\in \mathcal{A}\):
\[\mu(A)\ge0, \ \forall \ A\in\mathcal{A}\]
Пример
Классическим примером является мера Лебега:
\[\mu(A)=\lambda(A)\]где \(\lambda\) обозначает длину множества на отрезке \([0,1]\). Поскольку \(\lambda\) всегда неотрицательна, это означает, что \(\mu\) является неотрицательным зарядом, а значит — мерой.
Заключение
- Заряд — обобщение меры, допускающее отрицательные и бесконечные значения.
- Мера — частный случай заряда с неотрицательными значениями.
- Различия между конечным, счётно конечным и произвольным зарядом проявляются в свойствах сходимости и аддитивности.